VT2021 Merkle Trees fiche

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Présenté par :

• Corentin Humbert : corentin.humbert@etu.univ-grenoble-alpes.fr
• Kévin Yung : kevin.yung@etu.univ-grenoble-alpes.fr

Merkle Trees

Résumé

Mots-clé: Merkle, arbres, hachage, structure de données, validation

Abstract

Merkle Trees are binary trees in which every node is labelled with a cryptographic hash.

Keywords: Merkle, Trees, hash, data structure, validation

Fonctionnement

Principe

Simple Merkle Tree

Les arbres de Merkle sont des arbres binaires utilisés pour effectuer de la validation de données. Pour ce faire, chaque feuille de l'arbre va contenir le hachage correspondant à une partie de la donnée à valider. Chaque noeud de l'arbre va également contenir un hachage. Ce hachage est obtenu en concaténant le hachage des deux enfants et en passant le résultat dans une fonction pour créer un tout nouveau hachage. Il se construit alors une dépendance générale où la valeur de chaque noeud dépend des valeurs de ses noeuds enfants.

L'image ci-dessous contient un arbre de Merkle servant à valider une donnée découpée en quatre blocs (Data Nodes). Les feuilles de l'abre (Merkle leaves) vont contenir le hachage correspondant pour chaque bloc. Les noeuds intermédiaires (Merkle branches) vont contenir le hachage issu de la concaténation des hachages de leurs deux enfants. Enfin, la racine de l'arbre (Merkle root) va contenir le hachage final servant à identifier l'arbre de Merkle.

Un point sur le hachage

Avant de s'immiscer dans le fonctionnement des arbres, il est important de parler du hachage et plus particulièrement des fonctions de hachage.

Exemples de hachages obtenus en utilisant MD5 (source: Wikipedia)

En cryptographie, une fonction de hachage est une fonction qui, à partir d'une donnée fournie en entrée, va être capable de calculer une empreinte numérique permettant d'identifier la donnée initiale de manière unique. La taille en sortie de cette empreinte est fixe et ne dépend pas de la taille de la donnée en entrée. Par idempotence, chaque donnée donnera toujours la même empreinte. En pratique, les fonctions de hachages sont bijectives, dans le sens où chaque donnée a une seule empreinte et chaque empreinte ne correspond qu'à une seule donnée. En théorie, la possibilité de surjectivité existe. Cela est due au fait que l'ensemble d'arrivée correspondant aux empreintes est de taille fini contrairement à l'ensemble des données en entrées qui lui peut être infini. On pourrait donc trouver deux données différentes partageant une même empreinte. Cependant, l'ensemble d'arrivée est en général suffisamment grand pour que ce phénomène ne se produise jamais. On parle souvent de la capacité qu'a une fonction de hachage à résister aux collisions (deux données différentes partageant une même empreinte). Cette capacité à résister aux collisions varie en fonction des algorithmes. Certains algorithmes réduisent d'ailleurs l'ensemble d'entrée en un ensemble fini pour s'assurer que le phénomène de collision ne se produise jamais. La présence de collisions constitue cependant une faille de sécurité importante pour les fonctions de hachages et un problème qu'on ne peut pas ignorer.

Ce qui fait la puissance et la fiabilité d'une fonction de hachage, c'est la difficulté de remonter à la donnée initiale à partir de son empreinte. Il est très simple, pour une donnée en entrée, de calculer le hachage correspondant. Alors que l'opération inverse, qui correspond à retrouver la donnée initiale à partir de l'empreinte est mathématiquement extrêmement compliquée, et impossible à mettre en place sur les ordinateurs de nos jours. Une utilisation notable du hachage va être le stockage de mots de passe. Lors d'une inscription sur un site web, on ne va jamais stocker le mot de passe en clair dans une base de données. À la place, on va calculer le hachage correspondant au mot de passe et le stocker dans la base. À chaque fois que l'on voudra s'authentifier sur le site en rentrant le mot de passe, le hachage sera calculé et comparé à celui présent dans la base de données. Si les deux sont égaux, alors il s'agit du bon mot de passe. On peut donc vérifier qu'un mot de passe est valide sans l'avoir stocké dans la base au préalable, ce qui sécurise davantage les comptes utilisateurs.

Nous avons évoqué plus haut le fait que les fonctions de hachages ne garantissent pas la bijectivité et que des collisions puissent arriver (deux données différentes avec la même empreinte), pour des données aussi petites que des mots de passe (une cinquantaine de caractères tout au plus), le phénomène de collisions a une probabilité d'arriver quasi nulle.

Résistance aux collisions

Les fonctions de hachage ont tout de même quelques faiblesses notables. La première, réside dans la complexité de l'algorithme de hachage et de sa résistance aux collisions. C'est le cas de la fonction MD5 inventée en 1991 par Ronald Rivest, qui a pu être utilisée de manière fiable jusqu'en 2004 où une équipe chinoise a réussi à casser la fonction et prouver qu'elle ne garantissait une assez bonne résistance aux collisions. Le MD5 est aujourd'hui encore utilisé dans certains cas de figure. (notamment pour vérifier l'intégrité d'une donnée, c'est le cas pour les sommes de contrôle de certaines distributions Linux par exemple.) Toutefois, il est à bannir pour le hachage de mots de passe qui sont des données extrêmement sensibles. Il existe aujourd'hui des fonctions de hachage sécurisées telles que les fonctions dites SHA (pour Secure Hashing Algorithm) et plus précisément les familles de fonctions SHA-2 et SHA-3 qui n'ont pas encore été cassées.

Limites du hachage

Une autre faiblesse des fonctions de hachage est l'idempotence. Puisque chaque donnée a une empreinte unique, un attaquant pourrait calculer en amont les hachages pour des centaines de millions de données différentes et se contenter de les comparer à des hachages volés dans des bases de données de manière à identifier la donnée source. Dans le cadre du vol de mot de passe, on parle de rainbow table qui sont simplement des gigantesques tables faisant correspondre un mot de passe à son hachage. Il existe différentes méthodes que l'on peut mettre en place pour limiter le vol de mots de passe tel que le principe de salage ou encore l'utilisation d'algorithmes lents, comme bcrypt visant à ralentir l'opération de hachage.

Enfin, il est important de garder à l'esprit que toutes les méthodes mises en place ne résolvent pas le problème, elles visent simplement à ralentir considérablement les attaquants. Un attaquant disposant de suffisamment de temps et de puissance de calcul finira par retrouver n'importe quel mot de passe. Il y a également les récentes innovations au niveau des ordinateurs quantiques qui sont vouées à compromettre significativement les dispositifs de sécurité mis en place sur Internet aujourd'hui. Nous ne nous étendrons pas plus sur le sujet du hachage dans ce document, si vous désirez en apprendre davantage, je vous invite à cliquer sur les différents liens hypertextes présents dans cette partie.

Création d'un arbre

Pour réaliser un arbre de Merkle pour une donnée particulière, on va commencer par découper la donnée en entrée en un certain nombres de blocs. Le nombre de blocs va varier en fonction de la taille de la donnée. Une fois la donnée scindée en blocs, on va calculer pour chaque bloc son hachage et l'ajouter à l'arbre de Merkle. Deux blocs consécutifs vont être reliés par un nouveau noeud parent dont le hachage sera calculé en effectuant la concaténation des deux hachages enfant et en hachant une dernière fois ce résultat. On va réitérer cette opération pour chaque bloc, jusqu'à ce que tous les blocs de données hachés appartiennent à l'abre et qu'une racine soit calculée. Une fois la racine obtenue, la construction de l'abre est terminée.

Pour ce qui est de l'algorithme de hachage utilisé, celui-ci va varier en fonction des implémentations. Généralement, on utilisera des fonctions de hachage robustes tel que le SHA2 ou SHA3.

Arbre de Merkle désiquilibré

Nous avons parlé précédemment de comment les abres de Merkel étaient construits mais nous avons oublié d'évoquer un point. L'algorithme décrit marche très bien lorsque le nombre de blocs en entrée est une puissance de 2. Par exemple, avec quatre blocs, on aura quatre feuilles (noeud de hauteur 2), deux noeuds de hauteur 1 et un noeud de hauteur 0 (la racine). Mais que se passe-t-il si au lieu d'avoir quatre blocs, nous en avions six ? Nous aurions alors six feuilles, trois noeuds de hauteur 1 et... Comment faire? Chaque noeud ne peut avoir que deux enfants et nous nous trouvons avec un nombre impair de noeud, devons-nous changer la structure de l'abre et autoriser des noeuds à avoir trois enfants ?

Ils existent différentes approches permettant de pallier ce problème.

Duplication du noeud impair (Bitcoin)

Pour cette première approche, on va dupliquer les noeuds qui se retrouvent tout seul. Dans l'exemple suivant, on va donc dupliquer Hash5 de manière à pouvoir créer un parent dont les enfants seront deux copies de Hash5. On va réitérer l'opération à chaque fois qu'on montera d'un niveau de manière à avoir un arbre équilibré.

Références

• "Merkle tree", Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Merkle_tree
• "Merkle Trees: Concepts and Use Cases", Medium, https://medium.com/coinmonks/merkle-trees-concepts-and-use-cases-5da873702318